1. En route vers l'infini Michel GUILLEMOT I.R.E.M. de Toulouse

" Tout cela fait voir que l'esprit humain se propose des questions si étranges surtout lorsque l'infini y entre, qu'on ne doit pas s'étonner s'il y a de la peine à en venir à bout » LEIBNIZ, Nouveaux Essais IV, 3.

 

La route vers l'infini est sans fin : pour l'emprunter, des choix sont nécessaires. Nous pourrions démarrer au XIXe siècle, époque où l'infini mathématique a vraiment acquis droit de cité. Nous pourrions aussi cheminer à travers les diverses disciplines et examiner comment, peu à peu, l'infini y a pénétré. Nous avons choisi une autre voie négligeant au passage certains monuments exceptionnels tels par exemple, la géométrie (cf. chapitre 9) ou le calcul infinitésimal (cf. chapitre 3 ou 5). Nous avons voulu privilégier l'infini numérique et essayer de montrer comment au cours du temps les hommes et les femmes ont pu répondre aux deux questions fondamentales de la cardinalité et de l'ordinalité :

— comment compter ?

— comment ordonner ?

Mais là encore nous avons laissé aux bords de nos sentiers des civilisations prestigieuses comme, par exemple, la civilisation arabomusulmane ou la civilisation chinoise. En d'autres termes, nous sommes partis comme pour la route des vacances, délaissant au passage certaines autoroutes et sites pourtant réputés pour privilégier un aspect plus particulier de notre promenade.

 

Du peu au beaucoup en passant par l'infini, dénombrable ou continu, nous aborderons ainsi jusqu'aux rivages du transfini.

 

Départ pour les iles : le peu suffit

 

Passant au loin des magnifiques plages de Tahiti ou de... l'atoll de Mururoa, nous voguons vers les iles Murray, entre la Nouvelle-Guinée et la péninsule australienne du Cap York. Là

« si on en croit Hunt, certains indigènes ne connaissaient que les noms de nombre suivants, netat pour « un », neis pour « deux » neis-netat pour « trois » (2 + 1) et neis-neis pour « quatre » (2 + 2) ; au-delà ils employaient quelque chose comme une « multitude » 1

 

Croyons-nous être bien partis pour notre long voyage ? Ne sommes-nous pas vite arrêtés ?

« Le peu de mots exprimant des nombres dans les langues aborigènes ou insulaires, le fait qu'ils dépassent rarement 6, ne signifie aucunement que ces peuples ne savent pas compter. Encore moins qu'ils sont au stade préhistorique de leur civilisation » 2

 

1. IFRAH, Histoire universelle des chiffres, p. 13

2. ROUX, L'Homme et son nombre, p. 16

Certaines études ont pu montrer que ces indigènes sont des descendants de peuples qui à d'autres époques ont eu un langage plus évolué ou une meilleure connaissance des nombres. Il est très difficile d'effectuer un retour vers le passé dont ne nous saisissons que quelques témoignages à travers notre vision d'hommes du XXe siècle. Contentons-nous de nous émerveiller devant le fait qu'il y a plusieurs millénaires, des femmes et des hommes, qualifiés parfois trop abusivement de « primitifs », ont pu réaliser la première abstraction de l'histoire mathématique : celle du nombre 2. Peu importe que certains se soient arrêtés à 2, d'autres à 4 et enfin d'autres à 6. Avaient-ils besoin d'aller au-delà ? Le peu ne leur suffisait-il pas ? Nous-mêmes, aujourd'hui, n'éprouvons-nous pas souvent le besoin de changer d'unité de mesure pour que les nombres aient un certain sens ? Une déclaration de revenus de 550 000 000 de dollars représente, peut-être, une énorme richesse, mais le fait que le directeur de Disneyworld gagne autant que les 4 000 jardiniers qu'il emploie 3 est sans doute plus significatif. Mais avant d'en venir à de si fortes sommes, la guerre de trois n'a-t-elle pas eu lieu ?

Les écritures égyptienne (hiéroglyphique) et chinoise ont conservé les premiers balbutiements du trois comme indiquant la multitude, le pluriel. Ainsi, une forêt est représentée par 3 arbres.

 

« L'étape du trois parait être décisive, car elle introduit la progression infinie dans la suite des nombres » 4

 

Même si nous ne pouvons pas l'affirmer avec certitude il semble que le langage conserve les traces de la bataille visant à franchir la vieille barrière du deux. Trois est ainsi souvent associé à beaucoup, par exemple en latin tres et trans, en français trois et très et en anglais three et through. Après un et deux, sont formés les ordinaux troisième, quatrième et cinquième... Auparavant, premier garde sa signification, qui est avant tous les autres, tandis que l'on peut trouver second pour « l'autre » ou « celui qui suit » comme en latin « secundus ». Difficile de trancher entre second et deuxième. Essayons d'aller plus loin, quittons le peu pour le beaucoup.

 

Au pied des pyramides, les scribes comptent beaucoup

 

L'origine de l'écriture hiéroglyphique des nombres nous est inconnue. Elle est présente sur les premiers documents qui nous sont parvenus et elle ne changera pas durant les trois millénaires qu'a duré la civilisation de l'Ancienne Égypte. Notons au passage qu'il n'en a pas été de même des écritures cursives égyptiennes, hiératique ou démotique. Quant au système numérique employé il est semblable à celui utilisé par la plupart des peuples lorsqu'ils ont voulu mieux appréhender le beaucoup : c'est un système additif de base dix. Mais guidés par leur souci de pureté et leur gout artistique, les anciens Égyptiens ont employé des figures différentes pour noter seulement les différents multiples de 10.

 

3. ALBERT, Capitalisme contre capitalisme, p. 96

4. MENNINGER, Number Words and Number Symbols, p. 17