À la froide lumière du jour, l'euphorie et l'optimisme initiaux de Heisenberg retombèrent. Sa nouvelle physique semblait ne fonctionner qu'avec l'aide d'une sorte de bizarre multiplication où X multiplié par Y n'était pas égal à Y multiplié par X. Avec des nombres ordinaires, peu importe dans  quel ordre on les multiplie : 4 x 5 donne exactement le même résultat que 5 x 4, soit 20. Les mathématiciens appellent commutativité cette propriété. Les nombres obéissent à la commutativité de la multiplication, si bien que (4 x 5) - (5 x 4) est toujours égal à zéro. C'était une règle de mathématiques que tout enfant connaissait et Heisenberg fut profondément troublé en découvrant que, lorsqu'il multipliait ensemble deux tableaux, le résultat dépendait de l'ordre dans lequel ils étaient multipliés. (A x B) - (B x A) n'était pas toujours égal à zéro.

 Heisenberg avait beau avoir des doutes, il y avait au moins une chose dont il était certain : dans tout calcul, seules les relations entre grandeurs «observables», ou entre celles qu'on pouvait mesurer en principe, sinon en réalité, étaient permises. Prenant comme postulat l'observabilité de toutes les grandeurs figurant dans ses équations, il consacra "l'intégralité de ses maigres efforts » à un seul dessein, « exterminer et remplacer correctement le concept des trajectoires orbitales que nul ne peut observer.

 

Un beau matin, Born se rappela soudain un cours, depuis longtemps oublié, qu'il avait suivi quand il était étudiant et se rendit compte que Heisenberg avait accidentellement retrouvé la multiplication matricielle, dans laquelle X x Y n'est pas toujours égal à Y x X. En apprenant que le mystère de son étrange loi de multiplication avait été élucidé, Heisenberg se plaignit qu'« [il] ne [savait] même pas ce qu'était une matrice ». Une matrice n'est en fait rien d'autre qu'un tableau de nombres placé dans une série de rangées et de colonnes, tout comme ceux que Heisenberg avait construits à Helgoland. Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien britannique Arthur Cayley avait découvert comment additionner, soustraire et multiplier des matrices. Si A et B sont des matrices, alors A x B peut donner un résultat différent de B x A. Tout comme les tableaux numériques de Heisenberg, les matrices ne sont pas nécessairement commutables.

 

Dirac élabora une théorie mathématique qui le conduisit lui aussi à la formule pq-qp = (ih/pir)l en distinguant ce qu'il appela les nombres q des nombres c, et les grandeurs non commutables (A x B n'est pas égal à B x A) de celles qui le sont (A x B = B x A). Dirac montra que la mécanique quantique diffère de la mécanique classique en ce que les variables q et p représentant la position et la quantité de mouvement d'une particule ne sont pas commutables, mais obéissent à la formule qu'il avait trouvée indépendamment de Born, Jordan et Heisenberg. En mai 1926, il obtint son doctorat avec la première thèse au monde ayant pour sujet « La mécanique quantique». Or, à ce moment-là, les physiciens commençaient déjà à respirer un peu plus librement après avoir été confrontés à la mécanique matricielle, qui était difficile à utiliser, impossible à se représenter, même si elle donnait des réponses correctes.

« Les concepts de Born-Heisenberg nous ont coupé le souffle à tous et ont produit une impression profonde sur tous les gens portés sur la théorie, écrivit Einstein à Hedwig Born. Au lieu d'une plate résignation, il y a maintenant une singulière tension chez nous autres engourdis » Lesquels furent tirés de leur torpeur par un physicien autrichien qui, tout en poursuivant une liaison amoureuse, trouva le temps de produire une version entièrement différente de la mécanique quantique qui évitait ce qu'Einstein appelait « le véritable calcul par magie » de Heisenberg.